Лекция 3.

§5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.

1. Вспомогательные положения. Кусочно-гладкая кривая. Криволинейные интегралы II рода.
2. Определение интеграла от функции комплексной переменной.
3. Свойства f(z)dz.


Вспомогательные положения.
1)  Кусочно-гладкая кривая- Множество точек z=z(t)=x(t)+iy(t), где t [a,b] действительный параметр. x(t), y(t)  C[a,b];  x'(t), y'(t) -кусочно- непрерывные на [a,b];. x'2(t)+y'2(t) 0 - нет точек возврата, нет точек самопересечения. Если замкнутая кривая, то x(a)=x(b), y(a)=y(b).
2) Криволинейные интегралы второго рода по кривой на плоскости (x,y).
 
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=; 
Sn=P(xk*,yk*)D xk+Q(xk**,yk**)D yk;
|D zk|=[(D xk)2+(D yk)2]1/2. При этом предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек. 
Достаточными условиями существования криволинейного интеграла II рода являются : кусочная гладкость кривой C, кусочная непрерывность и ограниченность функций P и Q.

Основное определение.
Интегралом от функции комплексно переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C комплексной плоскости z называется комплексное число, действительная и мнимая части которого есть криволинейные интегралы второго рода от действительной и мнимой частей f(z) вида:
f(z)dz = [u(x,y)+iv(x,y)] (dx+idy)= udx-vdy +i vdx+udy.
Замечания.
1) Достаточное условие существования- кусочная гладкость контура C и кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|.
2) Из этого определения и определения криволинейного интеграла II рода => $Sn=f(z)dz; Sn=f(zi*)D zi, причем предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

Свойстваf(z)dz .
Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом тc+ f(z)dz или просто тc f(z)dz, интегрирование в отрицательном направлении- f(z)dz.
1) f(z)dz=-f(z)dz; 2) Линейность. 3) f(z)dz= f(z)dz+┘+ f(z)dz.
4) | f(z)dz||f(z)|ds MLc;
5) Вычисление интеграла интегрированием по параметру: f(z)dz=f[z(t)] z '(t)dt.
Пример. =2p i . Результат не зависит ни от R0, ни от z0 !!

6) Замена переменных. Пусть $ j (x ): z=j (x ); C<=> G на плоскости x и j (x )О C (D) и однолистная в D, где D- область комплексной плоскости x , содержащая G .
=> f(z)dz= f[j (x )]j '(x )dx .

Назад       Вверх       Вперед